不可达基数k就是对任意小于k的基数，取幂集的基数仍然小于k并且由任意小于k个小于k的集组之并的基数仍然小于k。而对比弱不可达基数只要满足＜k的任意基数的后继仍然＜k就行。而具有以上相同性质的可数基数就是阿列夫零。

马洛基数：又称马赫罗基数，对于所有K，正则基数 β 的初始段（即 β 以下的所有基数）中都包含一个K基数。这里的K在这个基数以上所有的正则无限基数的并集中，删去所有小于K的基数后，剩余的基数集合是一个K的闭集。也就是一个马洛基数κ之下的不可达基数组成驻集，小于κ的所有正则基数集合是κ的驻子集，则κ为马洛基数，说明白点就是任意不可达基数k，其他不可达基数在这个k前面形成无界闭集取驻集族为{a {0,1} 都存在一个κ个元素的子集使f在这个集上的值相同。也是，最小不可达基数κ，需要满足cfκ=κ，a＜κ→2^a＜κ的基数，一个2-不可达基数κ是第κ个不可达基数，一个超不可达基数就是κ-不可达基数，每一个马洛基数κ之下的不可达基数组成驻集，小于κ的所有正则基数集合是κ的驻子集，则κ为马洛基数，说明白点就是任意不可达基数k，其他不可达基数在这个k前面形成无界闭集，则此k为马洛基数，第马洛基数个不可达基数一定是马洛基数。然后是2-马洛基数，下面的马洛基数形成驻集，超马洛基数，κ是κ-马洛基数。

不可描述基数：基数K称为∏n不可描述基数如果对于每个∏m命题(φ，并且设置A?∨κ与(Vκ+n,∈，A)╞φ存在一个α＜κ与(V α+n，∈,A ∩Vα)╞φ。这里看一下具有m-1个量词交替的公式，最外层的量词是通用的。∏n不可描述基数以类似的方式定义。这个想法是，即使具有额外的一元谓词符号（对于A）的优势，也无法通过具有m-1次量词交替的n+1 阶逻辑的任何公式将κ与较小的基数区分开来（从下面看）。这意味着它很大，因为这意味着必须有许多具有相似属性的较小基数。如果基数κ是∏nm，则称它是完全不可描述的——对于所有正整数m和n都难以描述。也是，这里不可描述基数是指一类大基数，指用∏nm或者是∑nm公式的概念和模型论工具所定义的基数，若对任何仅含一个二阶自由变元X的∏nm公式或∑nm公式Φ(X)，当有α层结构〈Vα，∈?Vα，R〉满足Φ(R)时，即〈Vα，∈?Vα，R〉?Φ(R)成立时，存在β＜α，使β层子结构也满足Φ(R)，即〈Vβ，∈?Vβ，R∩Vβ〉?Φ(R∩Vβ)，则称基数α为∏mn或∑mn不可描述基数，注意到反射原理是指全域中的任何一阶公式可以用某一层Vβ中的相对化公式来代替，此处的不可描述性，就是指，在α层结构中真的公式，必可在α之前的某β层中为真，公式加以适当的限制，这种不可描述基数必然是很大的一类大基数，κ是强不可达基数，当且仅当κ是∏10不可描述基数，又当且仅当κ是∑11不可描述基数，κ是弱紧基数，当且仅当κ是∏11不可描述基数，若κ是可测基数，则κ是∏21不可描述基数。

可迭代基数：将基数κ定义为可迭代的，前提是κ的每个子集都包含在弱κ-模型M中，其中在κ上存在一个M-超滤器，允许通过任意长度的超幂进行有根据的迭代。Gitman给出了一个更好的概念，其中一个基数κ被定义为α-iterable 如果仅需要长度为α的超幂迭代才能有充分根

拉姆齐基数：让[ κ ]＜ω表示κ的所有有限子集的集合。如果 对于每个函数， 基数 κ称为 Ramsey

f : [ κ ]＜ω→{0,1}

存在基数为κ的集合A对于f是齐次的。也就是说，对于每个n，函数f在A的基数n的子集上是常数。如果A可以被选为κ的固定子集，则基数κ被称为不可言说的Ramsey。如果对于每个函数， 基数κ实际上被称为Ramsey

f : [ κ ]＜ω→{0,1}

存在C，它是κ的一个闭无界子集，因此对于C中具有不可数共尾性的每个λ，都存在一个与 f 齐次的入的无界子集；稍微弱一点的是lamost Ramsey的概念，其中对于每个λ＜κ，需要有序类型λ的f的同质集。

将基数κ定义为可迭代的，前提是κ的每个子集都包含在弱κ-模型M中，其中在κ上存在一个M-超滤器，允许通过任意长度的超幂进行有根据的迭代。

Gitman给出了一个更好的概念，其中一个基数κ被定义为α-iterable 如果仅需要长度为α的超幂迭代才能有充分根据。

也就是，拉姆齐基数定理确立了ω具有 R基数推广到不可数情况的特定性质，令让[ κ ] ＜ω表示κ的所有有限子集的集合，一个不可数的基数 κ 称为 R 如果，对于每个函数f : [ κ ] ＜ω → {0, 1}，有一个基数κ的集合A对于f是齐次的，也就是说，对于每个n，函数f在来自A的基数n的子集上是常数，如果A可以选择为 κ 的平稳子集，则基数κ被称为不可称的R，如果对于每个函数， 基数κ实际上称为Rf : [ κ ] ＜ω → {0, 1}，有C是κ的一个封闭且无界的子集，因此对于 C 中的每个λ具有不可数的共尾性，有一个λ的无界子集对于f是同质的；稍微弱一点的是几乎 R的概念，其中对于每个λ ＜ κ ， f的齐次集都需要阶类型λ，这些 R基数中的任何一个的存在都足以证明0 #的存在，或者实际上每个秩小于κ的集合都有一个尖，每个可测基数都是R大基数，每个 R大基数都是R大基数，介于 R和可测性之间的强度中间属性是κ上存在κ完全正态非主理想 I使得对于每个A ? I和对于每个函数，f : [ κ ] ＜ω → {0, 1}，有一个集合B ? A不在I中，对于f是齐次的，R基数的存在意味着0 #的存在，这反过来又意味着Kurt的可构公理的错误。

强拉姆齐基数：一个为κ的强拉姆齐基数，而且仅当对于每一个A?κ位于一个存在κ上的弱自可的κ-模型M，κ-模型M可数完备，〈M，U〉满足κ-完备，它必然是正确的，因为M在长度小于κ的序列下是封闭的。强拉姆齐基数的力迫相关性质与之前的拉姆齐基数相同，强拉姆齐基数的一致性强于拉姆齐基数。

弱紧致基数：(位于马洛基数后)

k是弱紧致基数是指不可数且满足k → (k )。

所谓k是弱紧致基数，是指在不可数且Lκ，κ-句的集合中至多只使用了k个非逻辑符号的情况下，如果k-能够满足则能够满足。(弱紧致性)记载了两个弱紧致基数的定义。

前者是组合论的性质，后者是模型理论的性质。

首先需要确认这个定义是相同值，还是真的定义了相同的基数，但是以后再进行，这个弱紧致基数具有什么性质，是组合论和模型理论这两个理论。

也是大基数的一种，特殊的强不可达基数，一个基数κ被称为弱紧的，如果κ是强不可达的并且满足树性质或划分性质，从定义可见，弱紧性弱于可测性但强于不可达性，弱紧致基数是大基数理论中的一个核心概念，若语言Lκκ中任何只用到≤κ个非逻辑符号的语句集A有模型，当且仅当A的每个基数κ的子语句集有模型，则称基数κω是弱紧基数，弱紧基数是由匈牙学者爱尔特希和波兰学者塔尔斯基于1961年开始进行研究的，弱紧基数的等价性质很多，例如以无穷组合论中的一些性质来刻画，对于κω，κ是弱紧基数与以下各条等价：

1.κ具有分划性κ→(κ)22。

2.对任何基数γκ及nω，κ具有分划性质κ→(κ)nγ。

3.κ是强不可达基数且有数性质，κ是弱紧基数还与下列这些性质等价。

4.κ是超滤性质。

5.κ有弱超滤性质且κ是强不可达基数。

6.κ有Vκ可扩张性质。

7.κ有序性质。

8.κ是π11不可描述基数。

汉弗(Hanf，W.P.)于1964年与库仑(Kunen，K.)于1977年的工作结合起来，得到如下结论：

弱紧致基数κ是强马赫罗基数，并且κ以下的强马赫罗基数的集合是κ的驻子集.通常的一阶逻辑语言是Lωω，其紧致性定理是：

Lωω的任一语句集A有模型，当且仅当A的每个有穷子集有模型，亦即，语言Lωω是(ω，ω)紧的，上述弱紧基数的定义与此略有不同，如果完全依照ω的这一紧致性而加以推广，则可定义另一种弱紧基数，人们称之为弱紧2基数，基数κω称为弱紧2基数，是指语言Lκκ是(κ，κ)紧的，即对于Lκκ的任何基数≤κ的语句集A，A有模型，当且仅当A的每个基数κ的子语句集有模型，若将先前定义的弱紧基数称为弱紧1基数，则可以证明：

κ是弱紧1基数，当且仅当κ是弱紧2基数，且是强不可达基数，在广义连续统假设之下，弱紧1与弱紧2基数是相同的，弱紧2基数必为弱马赫罗基数

可测基数：(在拉姆齐基数后)

为了定义这个概念，人们在基数κ上或更一般地在任何集合上引入了一个二值度量。对于基数κ，它可以描述为将其所有子集细分为大集和小集，使得κ本身很大，?并且所有单例{ α }，α ∈ κ很小，小集的补集很大，并且反之亦然。小于的交集κ大集又大了。

事实证明，具有二值测度的不可数基数是无法从ZFC证明其存在的大基数。形式上，可测基数是不可数基数κ，使得在κ的幂集上存在κ加性、非平凡、0-1值测度。

（这里术语k-additive意味着，对于任何序列A α，α＜λ的基数λ＜κ，A α是成对相交的小于κ的序数集，A α的并集的度量等于个人A α的措施。)将满足集合a上的下一个的滤波器f称为超滤波器，对于所有的xa，X∈F或A X∈F ω上存在ω-完备非一元超滤波器，当k为不可数基数，k上存在K-完备非一元超滤波器时，k称为可数基数

定理( ZFC )

可测基数为不可达基数，可预测基数公理( Meas ) :“存在可预测基数.”可测基数与初等嵌入，当k是可测基数时，根据k上K-完备非一元超滤波器对v的超幂，构造了一类可拓m和一类函数j:V→M，并给出了 《φ(x1,...,xn)：L∈-理论式》

?x1,...,xn∈V(φV(x1,...,xn)?φM(j(x1),...,j(xn)))

对于所有α＜K，j(α) =α且j(K ) ＞ k 将j称为从v到m的初等嵌入，k是j的临界点

使用这个初等嵌入，可以显示出可预测基数k的很多性质在这种初等嵌入的存在下，k的可测性具有特征。

也是，可测基数是一个不可数的κ ，因此在κ的幂集上存在加性、非平凡、0-1值测度，而κ-additive意味着，对于任何序列Aα， α＜λ 的基数λ＜κ，Aα是＜κ的序数的成对不相交集， Aα的并集的度量等于个体Aα的测量值。

κ是可测的意味着它是将宇宙V的非平凡基本嵌入到传递类M的临界，并使用了模型理论中的超强构造，由于V是一个适当的类别，因此需要解决一个在考虑超能力时通常不存在的技术问题，当且仅当 κ 是具有κ完全非主超滤器的不可数基数时， κ是可测量的基数，这也意味着超滤器中任何严格小于κ的集合的交集也在超滤器中。

强可展开基数：(位于不可描述基数后)

基数κ是λ不可展开的，当且仅当对于ZFC的基数κ的每个传递模型M负幂集使得κ在M中并且M包含其所有长度小于κ的序列，有非-将M的非平凡基本元素j嵌入到传递模型中，其中j的临界点为κ，且j (κ) ≥ λ，一个基数是可展开的当且仅当它对于所有的序数λ 都是 λ-不可折叠的，一个基数κ 是强 λ 不可折叠的当且仅当对于每个ZFC负幂集的基数 κ 的传递模型 M使得 κ 在M中并且M包含其所有长度小于 κ 的序列，存在一个非-将M的平凡基本嵌入j到传递模型“N”中，其中 j 的临界点为κ，j (κ) ≥ λ，并且 V(λ) 是N的子集，不失一般性，我们也可以要求N包含其所有长度为 λ 的序列，一个基数是强可展开的当且仅当它对于所有 λ 都是强 λ-不可展开的。

强基数：如果λ是任何序数，κ是λ-strong意味着κ是基数并且存在从宇宙V到具有临界点κ和Vλ?M也就是说，M在初始段上与V一致。那么κ是强的意味着它对所有序数λ都是λ-强的。