就称N是关于δ是超紧基数的弱扩张子模型 (weak extender model) 。κ为λ-超紧致基数是指存在满足以下条件的j:V→M成为其临界点:λM?M.j(κ)＞λ.

κ为超紧基数是指对于任意λ≥κ，λ-超紧。

伊卡洛斯基数：存在一个L(V_λ+1，lcuras)非平凡基本嵌入，其临界点低于λ，伊卡洛斯存在于V_λ+2-L(V_λ+1)。

完整性公理|3~|0

|3：存在Vλ到自身的非平凡基本嵌入也就是存在非自明初等嵌入j:Vρ→Vρ。

|2：V存在一个非平凡基本嵌入到包含Vλ的传递类M，入为临界点上方的第一个不动点，也就是， 非自明初等嵌入j:V→M，存在满足vρm且超过j临界点的最小不动点为ρ的情况。

|1：Vλ+1到自身的非平凡基本嵌入也就是存在非自明初等嵌入j:Vρ+1→Vρ+1。

|0：存在L(Vλ+1)的非平凡基本嵌入，其临界点＜λ公理。

也就是存在非自明初等嵌入j:L(Vρ+1)→L(Vρ+1)。

以下更大的巨大基数的性质被选择公理所否定，但它们的存在不能只在策梅罗-弗伦克尔公理系统(即不使用选择公理ZF )中否定。

莱因哈特基数：莱因哈特基数Reinhardt基数是非平凡基本嵌入的临界点j : V→V的V进入自身。

这个定义明确地引用了适当的类j.

在标准ZF中，类的形式为{x|Φ(x,a)}对于某些集合a和公式Φ.但是在 Suzuki中表明没有这样的类是基本嵌入j ：V→V.还2有其他已知不一致的Reinhardt基数公式。一是新增功能符号j用ZF的语言，连同公理说明j是的基本嵌入V，以及所有涉及的公式的分离和收集公理j.另一种是使用类理论，如NBG或KM，它们承认在上述意义上不需要定义的类。又或是有一个公理主张存在被称为Reinhardt基数的基数。

这个基数公理在普通集合论的公理系统ZFC中不能很好地表达，例如，需要考虑可以把真正的类作为理论对象来处理的ZFC的扩展，但是基数κ为reinhardd 在某个集合论的universe对自己的初等映射j中，存在κ为j(κ)≠κ的最小顺序数的情况。

这个基数的概念引入后不久，这样的基数的存在与集合论的扩展相矛盾(即， ZFC的这样的扩张和主张Reinhardt基数存在的公理相结合的体系是矛盾的，或者ZFC的这样的扩张可以作为定理证明Reinhardt基数的不存在)。

为了能够记述在以下叙述的Reinhardt基数的定义中j的存在主张，需要那样的扩展。对于某语言l，从L-结构m到L-结构n的映射f是初等的( elementary )是指，对于所有m的要素的组a0，...，an 1和所有谓语逻辑中的L-逻辑式( x0，...，xn1 )，m = ( elementary )