由于写这篇证明庞加莱猜想的论文前就考虑过答辩的问题，所以田立心写出的论文并不像佩雷德曼原本的论文那样只有短短的三十页，而是扩展到了将近三百页。

理所当然的，这之中必然加入了许多曹怀西教授和朱西平教授的补充论文中的观点。

也因此，田立心做的报告已经过去了两个小时，却还没有任何结束的迹象。

照着ppt，田立心不但完整地阐述了自己的证明思路，还补齐了论文中部分省略部分以及容易引起歧义的内容，使得整个证明过程显得更加完整、逻辑更加严密。

尽管如此，在座的大部分人也只能是在看热闹，毕竟这些人里真正研究庞加莱猜想的并不多，他们知道有这个猜想，或许还是因为上个月公布的千禧年大奖问题。

其中的少部分人，如邱院士、汉密尔顿教授、瑟斯顿教授、曹怀西教授等这些研究庞加莱猜想的人，则都渐渐地沉浸其中了。

台上，田立心还在一边翻着ppt，一边演讲着。

“所谓黎曼度量，就是定义在流形上的一种数据结构，使得我们可以确定任意两点间的最短测地线，黎曼度量自然诱导了流形的曲率，曲率是表征空间弯曲的一种精确描述。给定曲面上三个点，我们用测地线连接它们成一个测地三角形，如果曲面为欧几里德平面，那么测地三角形内角和为180度，球面测地三角形的内角和大于180度，马鞍面的测地三角形的内角和小于180度，测地三角形内角和与180度的差别就是三角形的总曲率”

“瑟斯顿教授提出了石破天惊的几何化猜想所有的素三维流形可以配有标准黎曼度量，从而具有八种几何中的一种。特别地，单连通的三维流形可被配有正的常值曲率度量，配有正的常值曲率的三维流形必为三维球面，因此庞加莱猜想是瑟斯顿几何化猜想的一个特例”

“如果黎曼度量依随时间变化，度量的变化率和曲率成正比，那么曲率就像温度一样扩散，逐渐变得均匀，直至变成常数，在三维流形情形，在有限时间内，流形的某一点处，曲率有可能趋向于无穷，这种情况被称为是曲率爆破，爆破点被称为是奇异点”

“先引入一些记号，是带手术的i流，t是的t时刻截面，reg代表上所有的正则点。设t是奇异时间，则t，t分别表示手术前和手术后的极限的流形，如果不是奇异时间，当然两者相等”

“定义516带截断的i流。设pgt0，为定义在区间上带手术的i流，满足前面的先设条件。设pgt为非递增函数，则截断的i流满足下列条件

1，满足夹逼条件。

2，在每个奇异时间，tk由下面的操作通过tk得到

，丢掉不与p使得”

“定理517存在递减的序列0pltrjplte2，kjpgtpltjplte2，j1，2使得对任意正规化的初始度量，和任意函数满足

这个定理保证了，对于满足初始假设的流形，截断手术可以持续不断的进行下去，注意，每次手术中，如果包含区域p，则会有操作d，此时砍掉的角的一部分的体积有正的曲率下界，这个下界可以保证操作次数在有限时间内是离散的，没有p的话，高曲率部分被扔掉，i流直接结束。”

“定理518设流行3是闭的三维pri流行且不是非球面的，即存在某个kb0，则带手术的i流在有限时间终结。

证明请参加或。

由于球面有高阶同伦群不为0，故完全证明了庞加莱猜想。

以上这些，就是我今天准备报告的内容，我想，我就在这里结束！”

田立心说完最后一句之后，便笑着对下方点了点头，在他不经意间看到电脑上的时间时，差点就吓了一跳。

原本说好这个报告只做两个小时的，但时间已经过去了差不多两个半小时。