亨利庞加莱,法国数学家、天体力学家、数学物理学家、科学哲学家,他的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学、天体力学、数学物理、多复变函数论、科学哲学等许多领域。
他被公认是十九世纪后四分之一和二十世纪初的领袖数学家,是对于数学和它的应用具有全面知识的最后一个人,也被人称为“最后一位数学全才”。
在他留下的巨大科学遗产中,有一个属于代数拓扑学中带有基本意义的命题,这就是困扰了数学家们将近一个世纪的“庞加莱猜想”。
1904年,庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学猜想,“单连通的三维闭流形同胚于三维球面。”也即,在一个闭三维空间,假如每一条封闭的曲线都能收缩成一点,这个空间一定是一个三维的圆球。但在1905年,他发现其中的错误,修改为,“任何与n维球面同伦的n维闭流形必定同胚于n维球面”。
有人作了这样一个比喻:一个无孔的橡胶膜相当于拓扑学中的二维闭曲面,而一个吹涨的气球则可以视为二维球面,二者之间的点存在着一一对应的关系,同时橡胶膜上相邻的点仍是吹涨气球上相邻的点,反之亦然。
这就是庞加莱猜想。
后来,这个猜想被推广至三维以上的空间,也被称为“高维庞加莱猜想”。
近百年来,无数数学家关注并致力于证明庞加莱猜想。
二十世纪三十年代以前,庞加莱猜想的研究只有零星几项。
英国数学家怀特海对这个问题产生了浓厚兴趣,他一度声称自己完成了证明,但不久就撤回了论文,但在这个过程中,他发现了三维流形的一些有趣特例,这些特例也被称为怀特海流形。
三十年代到六十年代之间,又有一些著名的数学家宣称解决了庞加莱猜想,著名的宾、哈肯、莫伊泽和帕帕奇拉克普罗斯均在其中。
帕帕是1964年的维布伦奖得主,他以证明了著名的“迪恩引理”而闻名于世,然而,这位聪明的希腊拓扑学家,却也最终倒在了庞加莱猜想的证明上。
在贝勒屯就流传着这样一个传说,直到去世前,帕帕仍在试图证明庞加莱猜想,临终前,他将一叠厚厚的手稿交给了一位数学家朋友。
然而,这位数学家朋友只翻了几页就发现了错误,但为了让帕帕安静地离去,最后选择了隐忍不言。
这一时期,拓扑学家对庞加莱猜想的研究虽没能产生他们期待的结果,但却因此发展出了低维拓扑学这门学科。
斯梅尔在六十年代初想到了一个天才的主意:如果三维的庞加莱猜想难以解决,高维的会不会容易些呢?
随后,在基辅的非线性振动会议上,斯梅尔公布了自己对庞加莱猜想的五维空间和五维以上的证明,他也因此获得1966年菲尔茨奖。
193年,美国数学家弗里德曼将证明又向前推动了一步,他证出了四维空间中的庞加莱猜想,并因此获得196年的菲尔茨奖。
虽然这一猜想的高维推论已得到解决,但三维像只拦路虎一样趴在最后一关口,向世界上最优秀的拓扑学家发出挑战。
拓扑学的方法研究三维庞加莱猜想没有进展,有人开始想到了其他的工具,瑟斯顿就是其中之一。他引入了几何结构的方法对三维流形进行切割,并也因此获得了196年的菲尔茨奖。